Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根据导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式方程可得答案；（Ⅱ）对m进行讨论，解可得函数的增区间，解得函数的减区间；（III）由题意可知g′（x）=0在（1，2）上有解，讨论m的范围，判断g′（x）的单调性和零点个数，得出结论．

（Ⅰ）当时，，

所以，．

又，

所以曲线在处的切线方程为

（Ⅱ）函数的定义域为．

，

（1）当即时，

因为，，

所以的单调增区间为，无单调减区间.

（2）当，即时，令，得．

当时，；

当时，；

所以的单调增区间为，减区间为．

综上，当时，的单调增区间为，无单调减区间；

当时，的单调增区间为，减区间为．

（Ⅲ）因为，

所以.

令.

若函数在区间内有且只有一个极值点,

则函数在区间内存在零点.

又，

所以在内有唯一零点.

且时，

时，

则在内为减函数，在内为增函数.

又因为且在内存在零点,

所以

解得.

显然在内有唯一零点，记为.

当时，时，，所以在点两侧异号，即在点两侧异号，为函数在区间内唯一极值点.

当时，

又在内成立,

所以在内单调递增，故无极值点.

当时，易得时,故无极值点.

所以当且仅当时，函数在区间内有且只有一个极值点.