【题目】已知函数.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)若函数在区间内有且只有一个极值点,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)根据导数的几何意义求出切线的斜率,由点斜式方程可得答案;(Ⅱ)对m进行讨论,解可得函数的增区间,解得函数的减区间;(III)由题意可知g′(x)=0在(1,2)上有解,讨论m的范围,判断g′(x)的单调性和零点个数,得出结论.
(Ⅰ)当时,,
所以,.
又,
所以曲线在处的切线方程为
(Ⅱ)函数的定义域为.
,
(1)当即时,
因为,,
所以的单调增区间为,无单调减区间.
(2)当,即时,令,得
当时,;
当时,;
所以的单调增区间为,减区间为.
综上,当时,的单调增区间为,无单调减区间;
当时,的单调增区间为,减区间为.
(Ⅲ)因为,
所以.
令.
若函数在区间内有且只有一个极值点,
则函数在区间内存在零点.
又,
所以在内有唯一零点.
且时,
时,
则在内为减函数,在内为增函数.
又因为且在内存在零点,
所以
解得.
显然在内有唯一零点,记为.
当时,时,,所以在点两侧异号,即在点两侧异号,为函数在区间内唯一极值点.
当时,
又在内成立,
所以在内单调递增,故无极值点.
当时,易得时,故无极值点.
所以当且仅当时,函数在区间内有且只有一个极值点.
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【题目】以下关于圆锥曲线的命题中:①双曲线与椭圆有相同的焦点;②设、是两个定点,为非零常数,若,则动点的轨迹为双曲线的一支;③设点、分别是定圆上一个定点和动点,为坐标原点,若,则动点的轨迹为圆;其中真命题是_________.(写出所有真命题的序号)
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【题目】下列说法错误的是( )
A. 垂直于同一个平面的两条直线平行
B. 若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直
C. 一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行
D. 一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直
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【题目】为庆祝某校一百周年校庆,展示该校一百年来的办学成果及优秀校友风采,学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区,如图,是一个半径为2百米,圆心角为的扇形展示区的平面示意图.点是半径上一点,点是圆弧上一点,且.为了实现“以展养展”,现决定:在线段、线段及圆弧三段所示位置设立广告位,经测算广告位出租收入是:线段处每百米为元,线段及圆弧处每百米均为元.设弧度,广告位出租的总收入为元.
(1)求关于的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2)试问为何值时,广告位出租的总收入最大,并求出其最大值.
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【题目】(本小题满分14分)一种画椭圆的工具如图1所示.是滑槽的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且,.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C.以为原点,所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设动直线与两定直线和分别交于两点.若直线总与椭圆有且只有一个公共点,试探究:的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知如图,直线是抛物线()和圆C:的公切线,切点(在第一象限)分别为P、Q.F为抛物线的焦点,切线交抛物线的准线于A,且.
(1)求切线的方程;
(2)求抛物线的方程.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆的离心率为,过椭圆的左焦点,且斜率为的直线,与以右焦点为圆心,半径为的圆相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)线段是椭圆过右焦点的弦,且,求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.
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【题目】某商家耗资4500万元购进一批(虚拟现实)设备,经调试后计划明年开始投入使用,由于设备损耗和维护,第一年需维修保养费用200万元,从第二年开始,每年的维修保并费用比上一年增40万元.该设备使用后,每年的总收入为2800万元.
(1)求盈利额(万元)与使用年数之间的函数关系式;
(2)该设备使用多少年,商家的年平均盈利额最大?最大年平均盈利额是多少?
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