Question

16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0上，f（x）=x²-x-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）先根据f（x）是定义在R上的奇函数，得到f（0）=0，再设x＜0时，则-x＞0，结合题意得到f（x）=-f（-x）进行化简，进而得到函数的解析式．
（2）利用（1）的结论，即可解不等式．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∵当x＞0时，f（x）=x²-x-1，
∴当x＜0时，
f（x）=-f（-x）=-（x²+x-1）=-x²-x+1，
综上所述，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{z}^{2}-x+1，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{x}^{2}-x-1＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-{x}^{2}-x+1＞1}\end{array}\right.$，
解得x＞2或-1＜x＜0，
∴不等式的解集为{x|x＞2或-1＜x＜0}．

点评 本题考查了借助函数的奇偶性求解函数的解析式，考查学生解不等式的能力，属于中档题．