Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若

AB

•

BC

=-

3

2

，且b=

3

，求a+c的值；
（2）若存在实数m，使得2sinA-sinC=m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据A、B、C成等差数列得到B=

π

3

，从而将

AB

•

BC

=-

3

2

化简得到ac=3．再由余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，整理得到3=a²+c²-ac，两式联解即可得到a+c=2

3

；
（2）根据C=

2π

3

-A，将等式左边展开，化简得到2sinA-sinC=

3

sin(A-

π

6

)，结合A的取值范围并利用正弦函数的图象与性质，算出2sinA-sinC∈（-

3

2

，

3

），由此即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，结合A+B+C=π，可得B=

π

3

，
∵

AB

•

BC

=-

3

2

，得c•acos

2π

3

=-

3

2

，
∴ac=3． ①
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos

π

3

，
∴3=a²+c²-ac，可得a²+c²=3+ac=6． 
由此联解①、②，得a+c=2

3

．
（2）2sinA-sinC=2sinA-sin(

2π

3

-A)
=2sinA-(

3

2

cosA+

1

2

sinA)=

3

2

sinA-

3

2

cosA=

3

sin(A-

π

6

)，
∵0＜A＜

2π

3

，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

π

2

，
由此可得2sinA-sinC的取值范围为(-

3

2

，

3

)，
即m的取值范围为（-

3

2

，

3

）

点评：本题给出三角形的边角关系式和向量数量积的值，求三角形角B的大小和a+c的值，着重考查了平面向量数量积运算公式、运用正余弦定理解三角形和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．