Question

1．已知函数f（x）=e^2x-t，g（x）=te^x-1，对任意x∈R，f（x）≥g（x）恒成立，则实数t的取值范围为（　　）

• A． t≤1
• B． t≤2$\sqrt{2}$-2
• C． t≤2
• D． t≤2$\sqrt{3}$-3

Answer 1

分析 设F（x）=f（x）-g（x），则F（x）=f（x）-g（x）=e^2x-te^x+1-t对任意x∈R，最小值为0，由此能求出实数t的取值范围．

解答 解：设F（x）=f（x）-g（x），
∵函数f（x）=e^2x-t，g（x）=te^x-1，对任意x∈R，f（x）≥g（x）恒成立，
∴F（x）=f（x）-g（x）=e^2x-te^x+1-t对任意x∈R，最小值为0，
F′（x）=2e^2x-te^x，由F′（x）=0，得x=ln$\frac{t}{2}$，
∴F（ln$\frac{t}{2}$）=${e}^{2ln\frac{t}{2}}$-te${\;}^{ln\frac{t}{2}}$+1-t≥0，
整理，得t²+4t-4≤0，
解得-2-2$\sqrt{2}$＜t＜2$\sqrt{2}$-2．
故选：B．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查逻辑推理谁能力，运算求解能力，考查化归转化思想．是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．