Question

6．已知四棱锥P-ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点．

（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论；
（Ⅲ）是否存在E点使得PA∥平面BDE？证明你的结论．

Answer 1

分析 （I）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．由锥体体积公式可求；
（II）不论点E在何位置，都有BD⊥AE；利用正方形和线面垂直的性质定理证明；
（Ⅲ）当E点为PC中点时，PA∥平面BDE；利用线面平行的判定定理证明．

解答 解：（I）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．
∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{ABCD}}•PC=\frac{2}{3}$…（3分）               
（II）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．…（4分）
证明：连接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC．…（5分）
又AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．
∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC．
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．…（8分）
（Ⅲ）当E点为PC中点时，PA∥平面BDE…（9分）
证明：连结AC交BD于O点，连结OE
∵四边形ABCD为正方形
∴O点为AC中点，又E点为PC中点
∴OE∥PA，又PA?平面BDE，OE?平面BDE
∴PA∥平面BDE…（12分）

点评 本题考查了锥体的三视图、体积公式以及线面垂直、线面平行的性质定理和判定定理的运用；属于中档题．