Question

已知函数f（x）=x³-ax²．
（I）求以曲线f（x）上的点P（1，0）为切点的切线方程；
（Ⅱ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）如果函数f（x）的图象与函数g（x）=x⁵-2x³+x²的图象有四个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把点P的坐标代入函数解析式中求出a的值，把a的值代入f（x）中确定出解析式，求出f（x）的导函数，把P的横坐标代入即可求出切线方程的斜率，由切点坐标和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分解因式后，根据a=0和a大于0，分别讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间；
（Ⅲ）函数f（x）的图象与函数g（x）=x⁵-2x³+x²的图象有四个不同的交点，即令f（x）=g（x）得到的方程有四个根，显然x=0是方程的解，所以得到x³-3x+（a+1）=0有三个不同的非零根，可设M（x）等于方程的左边，求出M（x）的导函数，根据导函数的正负判断函数的单调区间，根据函数的增减性得到M（x）的最大值和最小值，让最大值大于0，最小值小于0，a+1不等于0，列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）过点P（1，0），∴a=1．
∵f′（x）=3x²-2x，k=f′（1）=1，
∴以P（1，0）为切点的切线方程：y=x-1．（3分）
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a）（a≤0），
①当a=0时，f′（x）≥0恒成立，∴函数f（x）在（-∞，+∞）单调递增，
②当a＜0时，令f′（x）≥0，则x≥0或x≤

2a

3

，∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，

2a

3

）∪[0，+∞）；单调递减区间为[

2a

3

，0）．（7分）
（Ⅲ）∵函数f（x）的图象与函数g（x）=x⁵-2x³+x²的图象有四个不同的交点，
∴x³-ax²=x⁵-2x³+x²，即x⁵-3x³+（a+1）x²=0有四个不同的根．
显然x=0为其中的一个根．
∴x³-3x+（a+1）=0有三个不同的非零根，（8分）
构造辅助函数M（x）=x³-3x+（a+1）．则M′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
∴M（x）在区间（-1，1）上单调递减，在区间（-∞，-1）∪（1，+∞）上单调递增．
∴M（x）_max=M（-1），M（x）_min=M（1），（10分）
∴x³-3x+（a+1）=0有三个不同的非零根
?

M(-1)＞0 M(1)＜0 a+1≠0

，即

a+3＞0 a-1＜0 a≠-1

，
∴-3＜a＜1且a≠-1．（12分）

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据导函数的正负判断得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，是一道中档题．