Question

已知函数f（x）=x-4+4（x≥4）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n），（n∈N*），数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；
（Ⅱ）若c_n=•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函数f（x）=x-4+4（x≥4）的反函数，把a_n+1=f^-1（a_n）代入，整理后即可证明数列{}为等差数列；
（Ⅱ）由数列{}为等差数列求出数列{}通项公式，进一步得到数列{a_n}的通项公式，再由数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为的等比数列，求出{b_n}的通项公式，代入c_n=•b_n后化简，然后利用分组求和和错位相减法求和可得数列{c_n}的前n项和S_n．
解答：（Ⅰ）证明：∵函数f（x）=x-4+4（x≥4），即（x≥4），
∴（y≥0），∴ （x≥2），
∴a_n+1=f^-1（a_n）=，
即 （n∈N^*）．
∴数列{}是以为首项，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得：，
即 （n∈N^*）．
由b₁=1，当n≥2时，，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=
=
=．
因而 （n∈N^*）．
由c_n=•b_n，得：=，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=
=．
令   ①
则  ②
①-②得，
=
=．
∴．
又1+3+5+…+（2n-1）=n²．
∴．
点评：本题考查了由递推式确定数列是等差数列，考查了等比数列的性质，训练了等差数列和等比数列通项公式的求法，考查了利用分组法和错位相减法求数列的前n项和，求一个等差数列和一个等比数列的积数列的前n项和，一般都用错位相减法，此题是中档题．