Question

17．过抛物线y²=2x的焦点作一条倾斜角为锐角α，长度不超过4的弦，且弦所在的直线与圆x²+y²=$\frac{3}{16}$有公共点，则角α的最大值与最小值之和是$\frac{7π}{12}$．

Answer 1

分析 设所作直线AB的方程为：y=k$（x-\frac{1}{2}）$，（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．根据弦AB所在的直线与圆x²+y²=$\frac{3}{16}$有公共点，可得k²≤3．与抛物线方程联立化为${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）x+\frac{1}{4}{k}^{2}$=0，利用根与系数的关系可得|AB|=x₁+x₂+1≤4，化为1≤k²．综上可得：$1≤k≤\sqrt{3}$，即$1≤tanα≤\sqrt{3}$，α∈（0，π），解出即可．

解答 解：设所作直线AB的方程为：y=k$（x-\frac{1}{2}）$，（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵弦AB所在的直线与圆x²+y²=$\frac{3}{16}$有公共点，∴$\frac{\frac{1}{2}|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，化为k²≤3．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，化为${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）x+\frac{1}{4}{k}^{2}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，
∴|AB|=x₁+x₂+1=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$+1≤4，化为1≤k²．
综上可得：1≤k²≤3，∵k＞0．
∴$1≤k≤\sqrt{3}$，
∴$1≤tanα≤\sqrt{3}$，α∈（0，π），
∴$\frac{π}{4}≤α≤\frac{π}{3}$，
∴角α的最大值与最小值之和是$\frac{7π}{12}$．
故答案为：$\frac{7π}{12}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线的距离公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．