Question

12．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（　　）

• A． y=log_ax
• B． y=x³+x
• C． y=3^x
• D． y=-$\frac{1}{x}$

Answer 1

分析 运用奇偶性的定义和导数的运用，结合常见函数的奇偶性和单调性，即可得到既是奇函数又是增函数的函数．

解答 解：对于A．则为对数函数，定义域为（0，+∞），则函数没有奇偶性，故A不满足条件；
对于B．定义域为R，f（-x）=-x³-x=-f（x），即有f（x）为奇函数，
又f′（x）=3x²+1＞0，则f（x）在R上递增，故B满足条件；
对于C．则为指数函数，f（-x）≠-f（x），则不为奇函数，故C不满足条件；
对于D．则为反比例函数，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数，
且在（-∞，0）和（0，+∞）均为增函数，故D不满足条件．
故选B．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用奇偶性和单调性的定义结合常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题和易错题．