Question

2．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0且cosα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，sin（α+β）=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$．
（1）试确定α+β在第几象限；
（2）求β的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可求得-$\frac{π}{2}$＜α+β＜$\frac{π}{2}$，又sin（α+β）=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$＜0，可解得-$\frac{π}{2}$＜α+β＜0，从而得解．
（2）利用同角三角函数关系，结合角的变换，即可得出结论．

解答 解：（1）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，
∴-$\frac{π}{2}$＜α+β＜$\frac{π}{2}$，
又∵sin（α+β）=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$＜0，
∴-$\frac{π}{2}$＜α+β＜0，故可确定α+β在第四象限；
（2）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0且cosα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{1}{7}$，
∵sin（α+β）=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$．
∴cos（α+β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=$\frac{13}{14}$，
∴sinβ=sin（α+β-α）=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=（-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$）×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$-$\frac{13}{14}×\frac{1}{7}$=-$\frac{1}{2}$，
∴由-$\frac{π}{2}$＜β＜0，可解得：β=-$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查同角三角函数关系，考查角的变换，考查学生的计算能力，属于中档题．