Question

14．设A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点，O是坐标原点，已知OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D的坐标为（1，3），则p=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 利用OD⊥AB，可求直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合OA⊥OB，利用向量的数量积公式，即可求出p的值．

解答 解：∵OD⊥AB，∴k_OD•k_AB=-1．
又k_OD=3，∴k_AB=-$\frac{1}{3}$，
∴直线AB的方程为y-3=-$\frac{1}{3}$（x-1），
即为y=-$\frac{1}{3}x$+$\frac{10}{3}$，
设A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0，
又x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-$\frac{1}{3}$x₁+$\frac{10}{3}$）（-$\frac{1}{3}$x₂+$\frac{10}{3}$）
=$\frac{10}{9}$x₁x₂-$\frac{10}{9}$（x₁+x₂）+$\frac{100}{9}$，
联立直线方程和抛物线方程，消y可得$\frac{1}{9}$x²-（$\frac{20}{9}$+2p）x+$\frac{100}{9}$=0①
∴x₁+x₂=20+18p，x₁x₂=100，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{10}{9}$×100-$\frac{10}{9}$×（20+18p）+$\frac{100}{9}$=0，
∴p=5，
当p=5时，方程①成为x²-110x+100=0显然此方程有解．
∴p=5成立．
故选：D．

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用韦达定理和向量垂直的条件是关键．