Question

5．设$\frac{1}{7}$≤k$≤\frac{1}{4}$，函数f（x）=|2^x-1|-k的零点分别为x₁，x₂（x₁＜x₂），函数g（x）=|2^x-1|-$\frac{k}{2k+1}$的零点分别为x₃，x₄（x₃＜x₄），则2${\;}^{（{x}_{1}+{x}_{4}）-（{x}_{2}+{x}_{3}）}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{21}{25}$
• B． $\frac{4}{25}$
• C． $\frac{1}{16}$
• D． $\frac{15}{16}$

Answer 1

分析 由题意可得${2}^{{x}_{1}}$=1-k，${2}^{{x}_{2}}$=1+k，从而可化简出${2}^{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1+k}{1-k}$；同理可得${2}^{{x}_{4}-{x}_{3}}$=$\frac{1+3k}{1+k}$；从而化简2${\;}^{（{x}_{1}+{x}_{4}）-（{x}_{2}+{x}_{3}）}$再求最值即可．

解答 解：∵函数f（x）=|2^x-1|-k的零点分别为x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴${2}^{{x}_{1}}$=1-k，${2}^{{x}_{2}}$=1+k；
∴${2}^{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1+k}{1-k}$；
同理可得，${2}^{{x}_{4}-{x}_{3}}$=$\frac{1+3k}{1+k}$；
故2${\;}^{（{x}_{1}+{x}_{4}）-（{x}_{2}+{x}_{3}）}$=$\frac{（1+3k）（1-k）}{（1+k）^{2}}$=1-$\frac{4{k}^{2}}{（1+k）^{2}}$≤$\frac{15}{16}$；
故选：D．

点评 本题考查了绝对值函数的应用，指数函数的性质应用及函数零点与方程的根的关系应用，属于基础题．