Question

15．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4t}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t为参数），当t=0时，曲线C₁上对应的点为P，以原点O为极点，以x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$ρ=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+si{n}^{2}θ}}$
（Ⅰ）求证：曲线C₁的极坐标方程为3ρcosθ-4ρsinθ-4=0；
（Ⅱ）设曲线C₁与曲线C₂的公共点为A，B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4t}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t为参数），得直角坐标方程，从而可得极坐标方程；
（Ⅱ）当t=0时，得P（0，-1），由（Ⅰ）知曲线C₁是经过P的直线，可曲线C₁的参数方程，由$ρ=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+si{n}^{2}θ}}$，可得曲线C₂的直角坐标方程，再代入x、y得21T²-30T-50=0，由韦达定理可得答案．

解答 （Ⅰ）证明：∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4t}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t为参数），
∴曲线C₁的直角坐标方程为3x-4y-4=0，
所以曲线C₁的极坐标方程为3ρcosθ-4ρsinθ-4=0；
（Ⅱ）解：当t=0时，x=0，y=-1，所以P（0，-1），
由（Ⅰ）知：曲线C₁是经过P的直线，
设它的倾斜角为α，则tanα=$\frac{3}{4}$，从而$sinα=\frac{3}{5}$，cos$α=\frac{4}{5}$，
所以曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}T}\\{y=-1+\frac{3}{5}T}\end{array}\right.$，T为参数，
∵$ρ=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+si{n}^{2}θ}}$，∴ρ²（3+sin²θ）=12，
所以曲线C₂的直角坐标方程为3x²+4y²=12，
将$x=\frac{4}{5}T$，$y=-1+\frac{3}{5}T$代入3x²+4y²=12，
得21T²-30T-50=0，
所以|PA|•|PB|=|T₁T₂|=$\frac{50}{21}$．

点评 本题考查极坐标方程、参数方程以及直角坐标方程之间的相互转化，利用韦达定理是解题的关键，属于中档题．