Question

8．设a_n是满足下述条件的自然数的个数，各数位上的数字之和为n（n∈N^*），且每个数位上的数字只能是1或2．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）求证：a_5n-1（n∈N^*）是5的倍数．

Answer 1

分析 （1）a₁=1；由于11或2满足各数位上的数字之和为2，可得a₂=2；以此类推即可得出a₃=3，a₄=5．
（2）设满足条件的自然数X的首位为1或2两种情况：当X的首位为1时，则其余各位数字之和为n+1，因此首位为1的自然数X的各位数字之和为n+2的自然数的个数为a_n+1；当X的首位为2时，则其余各位数字之和为n，因此首位为2的自然数X的各位数字之和为n+2的自然数的个数为a_n．可得各数位上的数字之和为n+2的自然数个数为a_n+1+a_n．即a_n+2=a_n+1+a_n．利用数学归纳法证明：a_5n-1（n∈N^*）是5的倍数即可．

解答 （1）解：a₁=1；
由于11或2满足各数位上的数字之和为2，∴a₂=2；
由于111，12，21满足各数位上的数字之和为3，∴a₃=3；
由于1111，121，211，112，22满足各数位上的数字之和为4，∴a₄=5．
（2）证明：设满足条件的自然数X的首位为1或2两种情况：
当X的首位为1时，则其余各位数字之和为n+1，因此首位为1的自然数X的各位数字之和为n+2的自然数的个数为a_n+1；
当X的首位为2时，则其余各位数字之和为n，因此首位为2的自然数X的各位数字之和为n+2的自然数的个数为a_n．
∴各数位上的数字之和为n+2的自然数个数为a_n+1+a_n．即a_n+2=a_n+1+a_n．
下面利用数学归纳法证明：a_5n-1（n∈N^*）是5的倍数．
（i）当n=1时，a₄=5，因此是5的倍数；
（ii）假设当n=k（k∈N^*）时，a_5k-1是5的倍数．
则n=k+1时，a_5k+4=a_5k+3+a_5k+2=2a_5k+2+a_5k+1=2（a_5k+1+a_5k）+a_5k+1=3a_5k+1+2a_5k=3（a_5k+a_5k-1）+2a_5k=5a_5k+3a_5k-1．
而5a_5k与a_5k-1都是5的倍数，因此a_5k+4是5的倍数，
∴则n=k+1时命题成立．
综上可得：命题对于?n∈N^*都成立．

点评 本题考查了整除的理论、数学归纳法、类比推理，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．