Question

20．如图，将矩形ABCD沿对角线BD把△ABD折起，使A点移到A₁点，且A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（Ⅰ）求证：BC⊥A₁D；
（Ⅱ）求证：平面A₁CD⊥平面A₁BC；
（Ⅲ）若AB=10，BC=6，求三棱锥A₁-BCD的体积．

Answer 1

分析 （（I）证明BC⊥A₁O．推出BC⊥平面A₁CD．通过直线与平面垂直的性质定理证明BC⊥A₁D．
（II）证明A₁D⊥A₁B．推出A₁D⊥平面A₁BC．然后证明平面A₁BC⊥平面A₁CD．
（III）利用${V}_{{A}_{1}-BCD}={V}_{D-{A}_{1}BC}$，求出底面面积与高，即可求出几何体的体积．

解答 （共14分）
解：（I）因为A₁在平面BCD上的射影O在CD上，
所以A₁O⊥平面BCD．
又BC?平面BCD，
所以BC⊥A₁O．
又BC⊥CO，CO∩A₁O=O，CO?平面A₁CD，A₁O?平面A₁CD，
所以BC⊥平面A₁CD．
又A₁D?平面A₁CD，
所以BC⊥A₁D．（5分）
（II）因为矩形ABCD，
所以A₁D⊥A₁B．
由（I）知BC⊥A₁D．
又BC∩A₁B=B，BC?平面A₁BC，A₁B?平面A₁BC，
所以A₁D⊥平面A₁BC．
又A₁D?平面A₁CD，
所以平面A₁BC⊥平面A₁CD．（10分）
（III）因为A₁D⊥平面A₁BC，
所以A₁D⊥A₁C．
因为CD=10，A₁D=6，所以A₁C=8．
所以${V_{{A_1}-BCD}}={V_{D-{A_1}BC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×8×6=48$．（14分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定与性质吗，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查逻辑推理以及计算能力．