Question

9．已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{2}$）（ω＞0），f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），且f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上有最小值，无最大值，则ω的值为4．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，f（$\frac{π}{4}$）=sin（$\frac{π}{4}$ω+$\frac{π}{2}$）=-1，即即ω=8k-4；再结合$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$＜$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$，求得ω的值．

解答 解：由f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），可得f（x）的图象关于直线x=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{3}}{2}$=$\frac{π}{4}$对称．
再根据f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上有最小值，可得f（$\frac{π}{4}$）=sin（$\frac{π}{4}$ω+$\frac{π}{2}$）=-1，
∴$\frac{π}{4}$ω+$\frac{π}{2}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，即ω=8k-4，k∈z．
再根据f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上无最大值，$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$＜$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$，求得ω＜12．
综合可得ω=4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的图象的对称性、定义域和值域，属于基础题．