Question

4．已知函数f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}{x^2}$，a≠0．
（Ⅰ）当a≥1时，判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）在$x∈（0，\frac{2}{a^2}）$有两个极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求出函数f（x）的定义域，求出导数，设$g（x）=\frac{lnx+1}{x}$，利用导数求和函数的最值，然后判断函数f（x）的单调性．
（II）设g（x）=f′（x）=lnx+1-ax，求出$g'（x）=\frac{1}{x}-a$，
当a＜0时，判断f（x）的零点；当a＞0时，通过f′（x）的单调性，求出最值，推出极值点然后求解a的取值范围．

解答 解：（I）函数f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}{x^2}$，a≠0定义域是（0，+∞），$f'（x）=lnx+1-ax=x（\frac{lnx+1}{x}-a）$，…（2分）
设$g（x）=\frac{lnx+1}{x}$，$g'（x）=\frac{-lnx}{x^2}$，
当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）递增，当x∈（1，+∞），g'（x）＜0，g（x）递减．
∴g（x）在（0，+∞）上最大值是g（1）=1，∴$\frac{lnx+1}{x}≤1$，
∴$\frac{lnx+1}{x}-a≤0$，f'（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减； …（6分）
（II）设g（x）=f'（x）=lnx+1-ax，$g'（x）=\frac{1}{x}-a$，
当a＜0时，$g'（x）=\frac{1}{x}-a＞0$，f'（x）递增，∴f'（x）不可能有两个零点，
从而f（x）也不可能有2个极值点； …（8分）
当a＞0时，f'（x）在$x∈（0，\frac{1}{a}）$递增，在$x∈（\frac{1}{a}，+∞）$递减，f'（x）有最大值$f'（\frac{1}{a}）=-lna$，
函数f（x）有两个极值点，必须$f'（\frac{1}{a}）=-lna＞0$，∴0＜a＜1，…（10分）
∵$f'（\frac{1}{e}）=-\frac{a}{e}＜0$，∴f（x）在$（\frac{1}{e}，\frac{1}{a}）$有有一极小值点x₁，
由（I）有lnx≤x-1，∴$ln\frac{1}{a}≤\frac{1}{a}-1$，即$lna≥1-\frac{1}{a}$
因此$f'（\frac{2}{a^2}）=ln2-2lna+1-\frac{2}{a}≤ln2-2（1-\frac{1}{a}）+1-\frac{2}{a}=ln2-1＜0$
∴f（x）在区间（$\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a2}$）有一极大值点x₂；
综上所述，a的取值范围是（0，1）．…（12分）

点评 本题考查函数的对数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．