Question

8．已知函数f（x）=（x²-2ax+2）e^x．
（1）函数f（x）在x=0处的切线方程为2x+y+b=0，求a、b的值；
（2）当a＞0时，若曲线y=f（x）上总存在三个点，使得曲线在这三点的切线斜率均为k，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程，可得a，b的方程，解得即可；
（2）由题意可得f′（x）=e^x[x²+（2-2a）x+2-2a]=k总有三个不相等的实根．令g（x）=e^x[x²+（2-2a）x+2-2a]，求出导数，求得极值，令k介于极小值和极大值之间，再由恒成立思想，即可得到k的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=（x²-2ax+2）e^x的导数为f′（x）=e^x[x²+（2-2a）x+2-2a]，
即函数f（x）在x=0处的切线的斜率为k=2-2a，
由于在x=0处的切线方程为2x+y+b=0，
则2-2a=-2，2+b=0，
解得a=2，b=-2；
（2）若曲线y=f（x）上总存在三个点，使得曲线在这三点的切线斜率均为k，
则f′（x）=e^x[x²+（2-2a）x+2-2a]=k总有三个不相等的实根．
令g（x）=e^x[x²+（2-2a）x+2-2a]，g′（x）=e^x[x²+（4-2a）x+4-4a]，
令g′（x）=0，解得x=-2或-2+2a，（a＞1），
由于x=-2处g′（x）左正右负，x=-2+2a处g′（x）左负右正，
即有g（-2）取得极大值，且为e^-2（2+2a），
g（2a-2）取得极小值，且为e^2a-2（2-2a）．
则有a＞0时，e^2a-2（2-2a）＜k＜e^-2（2+2a）恒成立．
令t=2a-2（t＞-2），h（t）=-te^t，h′（t）=-e^t（t+1），
在t＞-1，h′（t）＜0，h（t）递减；在-2＜t＜-1，h′（t）＞0，h（t）递增．
即有h（t）在t=-1处取得极大值，也为最大值，且为h（-1）=e^-1．
又当a＞0时，e^-2（2+2a）＞2e^-2．
即有2e^-2＜k＜e^-1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查函数方程的转化思想，属于中档题．