Question

16．判断函数y=x+$\frac{1}{x}$的单调性并证明．

Answer 1

分析 函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）是增函数，在（-1，0），（0，1）是减函数，再利用函数单调性的定义证明：取值，作差，变形，定号下结论．

解答 解：函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）是增函数，在（-1，0），（0，1）是减函数．
理由如下：设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
若x₁＜x₂＜-1，或1＜x₁＜x₂，则x₁x₂＞1，即有$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
若-1＜x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂＜1，则0＜x₁x₂＜1，即有$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）是增函数，在（-1，0），（0，1）是减函数．

点评 本题考查函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论．