Question

1．已知C的圆心（2，0），半径为$\sqrt{3}$，圆C与抛物线D：y²=2px（p＞0）的交点A、B在x轴的上方，且线段AB的中点M在直线y=x上，求：
（1）圆C的标准方程；
（2）求p的值．

Answer 1

分析 （1）由C的圆心（2，0），半径为$\sqrt{3}$，可得圆C的标准方程为（x-2）²+y²=3；
（2）先把两个方程联立求出关于点A、B和p的方程，再求出中点坐标以及y₁+y₂来求p值即可．

解答 解：（1）∵C的圆心（2，0），半径为$\sqrt{3}$，
∴圆C的标准方程为（x-2）²+y²=3；
（2）由题得p＞0．
设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），圆的圆心为点C，联立可得x²-（4-2p）x+1=0，
△=（4-2p）²-4＞0⇒p＞3或0＜p＜1，
有x₁+x₂=4-2p＞0⇒0＜p＜1，且线段AB的中点M的坐标为（2-p，2-p）．
又∵y₁²y₂²=4p²x₁x₂=4p²，∴y₁y₂=2p，
∴（y₁+y₂）²=y₁²+y₂²+2y₁y₂=2p（4-2p）+4p=（4-2p）²，
∴p=$\frac{7-\sqrt{17}}{4}$．

点评 本题是对抛物线与圆的综合考查，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．