Question

16．根据下列条件，确定数列{a_n}的通项公式
（1）a₁=1，a_n+1=3a_n+2 
（2）a₁=1，a_n+1=（n+1）a_n 
（3）a₁=2，a_n+1=a_n+ln（1+$\frac{1}{n}$）

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=3a_n+2，变形为a_n+1+1=3（a_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）a₁=1，a_n+1=（n+1）a_n，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=n+1，利用“累乘求积”即可得出；
（3）由a₁=2，a_n+1=a_n+ln（1+$\frac{1}{n}$），变形为a_n+1-a_n=ln（n+1）-lnn．利用“累加求和”即可得出．

解答 解：（1）由a₁=1，a_n+1=3a_n+2，
变形为a_n+1+1=3（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为3，
∴${a}_{n}+1=2×{3}^{n-1}$，
∴${a}_{n}=2×{3}^{n-1}-1$．
（2）a₁=1，a_n+1=（n+1）a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=n+1，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$=n•（n-1）•…•2•1=n!，
∴a_n=n!；
（3）由a₁=2，a_n+1=a_n+ln（1+$\frac{1}{n}$），变形为a_n+1-a_n=ln（n+1）-lnn．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=[lnn-ln（n-1）]+[ln（n-1）=ln（n-2）]+…+（ln2-ln1）+2
=lnn+2．
∴a_n=lnn+2．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“累乘求积”、“累加求和”方法，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．