Question

4．若变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y≤8\\ 2y-x≥4\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，且z=-2x+y的最大值为m，最小值为n，则log_m（-n）=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

解答 解：不等式组对应的平面区域如图：
由z=-2x+y得y=2x+z，
平移直线y=2x+z，则由图象可知当直线y=2x+z经过点A（0，8）时，直线y=2x+z的截距最大，
此时z最大，为z=8，即m=8，
当直线y=2x+z经过点B时，直线y=2x+z的截距最小，
此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=8}\\{2y-x=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，即B（4，4），
此时z=-8+4=-4，即n=-4，
则log_m（-n）=log₈4=$\frac{2}{3}$
故答案为：$\frac{2}{3}$

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．