Question

14．设函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-2x．
（Ⅰ）证明f（x）有唯一零点；
（Ⅱ）设g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{x}$-2af（x）-2x，若g（x）是增函数，求A的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x}≥0$，所以得出f（x）是单调函数，而求出f（1）＜0，f（4）＞0，所以f（x）在（1，4）之间有唯一零点；
（Ⅱ）求出g（x），然后求g′（x）=$（\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}[（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}-2a]$，所以根据g（x）是增函数得到$（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}-2a≥0$，可将该不等式变成$2a≤（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}$，而要使该不等式成立，只要2a小于等于函数$（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}$的最小值4，从而得到2a≤4，所以得出a的最大值为2．

解答 解：（Ⅰ）当x∈（0，+∞）时，f′（x）=$\frac{1}{x}+x-2$=$\frac{（x-1）^{2}}{x}≥0$；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
又$f（1）=-\frac{3}{2}＜0$，f（4）=ln4＞0；
∴f（x）有唯一零点；
（Ⅱ）g（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{x}-2a（lnx+\frac{1}{2}{x}^{2}-2x）-2x$，$g′（x）=（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2）$$-2a（x+\frac{1}{x}-2）$=$（x-\frac{1}{x}）^{2}-2a（\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}$=$（\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}[（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}-2a]$；
∵g（x）是增函数，∴g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
∴$（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}-2a≥0$，即$2a≤（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}$在（0，+∞）上恒成立；
$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}≥2，（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}≥4$，当x=1时取“=”；
∴函数$（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}$的最小值为4；
∴2a≤4，a≤2；
∴a的最大值为2．

点评 考查函数导数符号和函数单调性的关系，单调函数若存在零点，则该零点唯一，判断函数存在零点的方法，以及基本不等式求函数最值．