Question

【题目】设函数.

（1）当时，证明： ；

（2）若关于的方程有且只有一个实根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) 或.

【解析】试题分析：

(1)当时，构造函数，则，则当时， 单调递减，当时， 单调递增.故 ，据此可得.

(2)构造函数，令 ，则，分类讨论：

①当时， ，此时有一个零点，

②当时， 或，

当时， 有一个零点，

当时， 有一个零点，

当时， 有一个零点，

综上可知，当方程有且只有一个实根时， 的取值范围是或.

试题解析：

（1）当时，令，

，

故当时， ，所以单调递减，

当时， ，所以单调递增.

故 ，

所以，所以.

（2）令 ，

，

①当时， ， 与在区间上的情况如下：

，此时有一个零点，

②当时， 或，

当时，即时，

与在区间上的情况如下：

所以极小值为，极大值为，

由的图象可知有一个零点，

当即时，

与在区间上的情况如下：

所以函数的极小值为，极大值为，

由的图象可知有一个零点，

当，即时，

为单调递减函数，由的图象知有一个零点，

综上可知，当方程有且只有一个实根时， 的取值范围是或.