Question

20．已知b＞a＞1，求证：ab（lnb-lna）＞blnb-alna．

Answer 1

分析 利用分析法的证明方法，通过构造函数，利用函数的导数的判断函数的单调性，然后证明不等式即可．

解答 证明：要证ab（lnb-lna）＞blnb-alna，
即证明：lnb-lna＞$\frac{1}{a}$lnb-$\frac{1}{b}$lna，
即$\frac{lnb}{1-\frac{1}{b}}＞\frac{lna}{1-\frac{1}{a}}$，
即证$\frac{blnb}{b-1}＞\frac{alna}{a-1}$，
设f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，x＞1，则f′（x）=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$，
设g（x）=x-lnx-1，则g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
∵x＞1，∴g′（x）＞0，g（x）是增函数，
g（x）＞g（1）=0，
∴f′（x）＞0，恒成立，∴f（x）是增函数，
所以$\frac{blnb}{b-1}＞\frac{alna}{a-1}$恒成立，
即b＞a＞1，ab（lnb-lna）＞blnb-alna成立．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，分析法证明不等式的方法，难度比较大，考查转化思想以及逻辑推理能力计算能力．