Question

已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．

(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；

(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．

Answer 1

解析：　(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，

∴c²＝a²＋b²＝2a²＝4，∴a²＝b²＝2，

∴双曲线方程为＝1.

(2)设点A的坐标为(x₀，y₀)，

∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，

∴x₀＝y₀.①

依题意，圆的方程为x²＋y²＝c²，

将①代入圆的方程得3y＋y＝c²，即y₀＝c，

∴x₀＝c，

∴点A的坐标为，代入双曲线方程得

＝1，即b²c²－a²c²＝a²b²，②

又∵a²＋b²＝c²，∴将b²＝c²－a²代入②式，整理得

c⁴⁴－2a²c²＋a⁴＝0，

∴3－8²＋4＝0，

∴(3e²－2)(e²－2)＝0，∵e＞1，∴e＝，

∴双曲线的离心率为.