Question

19．已知a，b，c都是正整数，且3^a=4^b=6^c，证明：$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{2}{c}$．

Answer 1

分析 令3^a=4^b=6^c =t，化指数式为对数式，然后利用对数的运算性质证明．

解答 证明：令3^a=4^b=6^c =t，
则a=log₃t，b=log₄t，c=log₆t，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{2}{lo{g}_{3}t}+\frac{1}{lo{g}_{4}t}$=$\frac{2}{\frac{lgt}{lg3}}+\frac{1}{\frac{lgt}{lg4}}=\frac{2lg3+2lg2}{lgt}$=$\frac{2lg6}{lgt}$；
$\frac{2}{c}$=$\frac{2}{lo{g}_{6}t}=\frac{2}{\frac{lgt}{lg6}}=\frac{2lg6}{lgt}$．
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{2}{c}$．

点评 本题考查对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，是基础题．