Question

已知函数f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，其中a＞0且a≠1．
（1）分别判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；
（2）比较f（1）-1与f（2）-2、f（2）-2与f（3）-3的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明；
（3）比较

f(1)

1

与

f(2)

2

、

f(2)

2

与

f(3)

3

的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明．

Answer 1

分析：（1）先求导，再判导数的符号．
（2）直接计算f（1）-1与f（2）-2、f（2）-2与f（3）-3，进行比较．比较大小可用做差比较法．
归纳一般的结论，构造函数利用单调性进行证明．
（3）利用基本不等式和做差比较法比较大小，归纳结论，构造函数进行证明．

解答：解：（1）f/(x)=

a

a2-1

(ax+a-x)lna，
若0＜a＜1，则

a

a2-1

＜0，lna＜0，所以f^/（x）＞0；
若a＞1，则

a

a2-1

＞0，lna＞0，所以f^/（x）＞0，
因此，任意a＞0且a≠1，都有f^/（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上的单调递增．
（2）直接计算知f（1）-1=0，f（2）-2=a+a^-1-2，f（3）-3=a²+a^-2-2，
根据基本不等式a+a^-1-2＞0，所以f（2）-2＞f（1）-1，
又因为(a2+a-2-2)-(a+a-1-2)=[(a+a-1)2-(

a

-

a-1

)2]=(

a

-

a-1

)2(a+a-1+1)=

1

a

(a-1)2(a+a-1+1)＞0，
所以f（3）-3＞f（2）-2．
假设?x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．
记g（x）=[f（x+1）-（x+1）]-[f（x）-x]

a

a2-1

[(ax+1-a-x-1)-(ax-a-x)]-1=

ax+1+a-x

a+1

-1，g/(x)=

ax+1-a-x

a+1

lna．与（1）类似地讨论知，对?x＞0和?a＞0且a≠1都有g^/（x）＞0，g（x）在[0，+∞）上的单调递增，g（0）=0，
所以g（x）＞g（0）=0，即?x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．
（3）

f(1)

1

=1，

f(2)

2

=

1

2

(a+a-1)，

f(3)

3

=

a2+1+a-2

3

，
根据基本不等式

f(2)

2

=

1

2

(a+a-1)＞1=

f(1)

1

，

f(3)

3

-

f(2)

2

＞

f(3)

3

-[

f(2)

2

]2=

(a-a-1)2

12

＞0，
所以

f(3)

3

＞

f(2)

2

＞

f(1)

1

．
假设?x＞0，

f(x+1)

x+1

＞

f(x)

x

．
记g(x)=

f(x)

x

，x＞0，g/(x)=

xf/(x)-f(x)

x2

a

x2

×

x(ax+a-x)lna-(ax-a-x)

a2-1

，
设h(x)=

x(ax+a-x)lna-(ax-a-x)

a2-1

，
则h（0）=0且h/(x)=

x(ax-a-x)ln2a

a2-1

，
类似（1）的讨论知h/(x)=

x(ax-a-x)ln2a

a2-1

＞0，
从而h（x）＞h（0）=0，g^/（x）＞0，g（x）在R⁺上单调增加，
所以?x＞0，

f(x+1)

x+1

＞

f(x)

x

．

点评：本题考查比较大小、归纳推理、函数单调性的证明及应用，综合性强，难度较大．