Question

【题目】如图，正四棱锥中， ，侧棱与底面所成角的正切值为．

（1）若是中点，求异面直线与所成角的正切值；

（2）求侧面与底面所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）线线角找平行：取BD中点O，由三角形中位线性质得 ，即就是异面直线PD与AE所成的角．再解三角形可得异面直线PD与AE所成角的正切值为;（2）作OF⊥AD，因为PO⊥面ABCD，所以PF⊥AD，即得就是侧面与底面所成二面角的平面角．再解三角形可得侧面与底面所成二面角的大小为.

试题解析：解：（1）连结EO，由于O为BD中点，E为PD中点，所以， ．∴ 就是异面直线PD与AE所成的角．

在Rt中， ．∴ ．

由， 可知面．所以，

在Rt中， ，

即异面直线PD与AE所成角的正切值为;

（2） 连结交于点，连结PO，则PO⊥面ABCD，

∴ ∠PAO就是与底面所成的角，

∴ tan∠PAO=PO=AOtan∠PAO = =．

设F为AD中点，连FO、PF，

易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以就是侧面与底面所成二面角的平面角．

在Rt中， ，

∴，即侧面与底面所成二面角的大小为.