Question

13．设直角坐标平面内与两个定点A（-2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E．过点B作与x轴垂直的直线l与曲线E交于C，D两点，则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=（　　）

• A． -9
• B． -3
• C． 3
• D． 9

Answer 1

分析 由条件便可得出轨迹E为双曲线，并可求得方程，再令x=2，即可得到C，D的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．

解答 解：直角坐标平面内与两个定点A（-2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2，
由双曲线的定义可得轨迹E是以A，B为焦点的双曲线，且c=2，a=1，b=$\sqrt{3}$，
方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，x=2代入方程得：y=±3，
可设C点的坐标为（2，3），D（2，-3），
则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=（4，3）•（0，-3）=4×0+3×（-3）=-9．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义，以及双曲线的标准方程，根据点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，属于中档题．