Question

8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，交x轴于点D，B到x轴的距离比|BF|小1．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若S_△BOF=S_△AOD，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解法一：由抛物线的焦半径公式，点B到x轴的距离比点B到抛物线准线的距离小1，$\frac{p}{2}=1$，即可求得p的值，求得抛物线方程；
解法二：将$y=\frac{p}{2}$代入x²=2py，得x=p或x=-p，故$|{BF}|=\frac{p}{2}$，由点B到x轴的距离比|BF|小1，$|{BF}|=\frac{p}{2}+1$，即$p=\frac{p}{2}+1$，即可求得p的值，求得抛物线方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入抛物线方程，由S_△BOF=S_△AOD，则|BF|=|AD|．利用韦达定理可得：${x_1}-（-\frac{1}{k}）={x_2}$，即${x_2}-{x_1}=\frac{1}{k}$，则两边平方，即可求得k的值，求得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）解法一：抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，$\frac{p}{2}$），C的准线方程为$x=-\frac{p}{2}$，（1分）
由抛物线的定义，可知|BF|等于点B到C的准线的距离．（2分）
又因为点B到x轴的距离比|BF|小1，
所以点B到x轴的距离比点B到抛物线准线的距离小1，（3分）
故$\frac{p}{2}=1$，解得p=2，
所以C的方程为x²=4y．（4分）
解法二：C的焦点为$F（0，\frac{p}{2}）$，（1分）
将$y=\frac{p}{2}$代入x²=2py，得x=p或x=-p，故$|{BF}|=\frac{p}{2}$，
因为点B到x轴的距离比|BF|小1，$|{BF}|=\frac{p}{2}+1$，即$p=\frac{p}{2}+1$，（2分）
解得p=2，所以C的方程为x²=4y，（3分）
经检验，抛物线的方程x²=4y满足题意．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C的焦点为F（0，1），设直线l的方程为y=kx+1（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则$D（-\frac{1}{k}，0）$．（5分）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+1\end{array}\right.$消去y，得x²-4kx-4=0．（6分）
△=（-4k）²-4×1×（-4）=16k²+16＞0，
由韦达定理，得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．（7分）
设点O到直线l的距离为d，则${S_{△BOF}}=\frac{1}{2}d•|{BF}|$，${S_{△AOD}}=\frac{1}{2}•d|{AD}|$．
又S_△BOF=S_△AOD，所以|BF|=|AD|．（8分）
又A，B，D，F在同一直线上，所以${x_1}-（-\frac{1}{k}）={x_2}$，即${x_2}-{x_1}=\frac{1}{k}$，（9分）
因为${（{x_2}-{x_1}）^2}={（{x_1}+{x_2}）^2}-4{x_1}{x_2}={（4k）^2}-4×（-4）$，（10分）
所以${（4k）^2}-4×（-4）={（\frac{1}{k}）^2}$，整理，得16k⁴+16k²-1=0，
故${k^2}=\frac{{\sqrt{5}-2}}{4}$，解得$k=±\frac{{\sqrt{\sqrt{5}-2}}}{2}$，（11分）
所以l的方程为$y=±\frac{{\sqrt{\sqrt{5}-2}}}{2}x+1$．（12分）

点评 本题抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题．