Question

8．已知f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx+cos²x
（Ⅰ） 试求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（C）=$\frac{3}{2}$，求$\frac{\sqrt{3}（{c}^{2}+ab+3{b}^{2}）}{4{S}_{△ABC}}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的单调递减区间．
（II）由题意可得sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，解得2C+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，结合范围0＜C＜π，可求C=$\frac{π}{6}$，利用三角形面积公式，余弦定理，基本不等式化简所求即可得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（I）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx+cos²x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．…（7分）
（II）∵f（C）=sin（2C+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，
∴2C+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴C=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{6}$，
∴可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{4}$ab，c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-$\sqrt{3}$ab，
∴$\frac{\sqrt{3}（{c}^{2}+ab+3{b}^{2}）}{4{S}_{△ABC}}$=$\frac{\sqrt{3}[{a}^{2}+4{b}^{2}+（1-\sqrt{3}）ab]}{ab}$=$\sqrt{3}$[$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$+（1-$\sqrt{3}$）]$≥5\sqrt{3}$-3，当且仅当a=2b时，取等号．…（14分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．