Question

9．如图（1），五边形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB，∠EDC=150°．如图（2），将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P-ABCD．点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．

（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若直线PC与AB所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点N，连接AN，MN，则$MN∥CD，MN=\frac{1}{2}CD$，可得四边形ABMN为平行四边形，又BM⊥平面PCD，可得AN⊥平面PCD，AN⊥PD，AN⊥CD．可得△PAD为等边三角形，∠PDA=60°，又∠EDC=150°，可得CD⊥AD，再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．
（2）AB∥CD，可得∠PCD为直线PC与AB所成的角，可得$tan∠PCD=\frac{PD}{CD}=\frac{1}{2}$，CD=2PD，设PD=1，则CD=2，PA=AD=AB=1，取AD的中点O，连接PO，过O作AB的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面PBD的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，利用$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BM}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BM}|}$，即可得出．

解答 （1）证明：取PD的中点N，连接AN，MN，则$MN∥CD，MN=\frac{1}{2}CD$，
又$AB∥CD，AB=\frac{1}{2}CD$，所以MN∥AB，MN=AB，
则四边形ABMN为平行四边形，所以AN∥BM，
又BM⊥平面PCD，
∴AN⊥平面PCD，
∴AN⊥PD，AN⊥CD．
由ED=EA即PD=PA，及N为PD的中点，∴PA=AD，
可得△PAD为等边三角形，
∴∠PDA=60°，
又∠EDC=150°，∴∠CDA=90°，∴CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，CD?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
（2）解：AB∥CD，∴∠PCD为直线PC与AB所成的角，
由（1）可得∠PDC=90°，∴$tan∠PCD=\frac{PD}{CD}=\frac{1}{2}$，∴CD=2PD，
设PD=1，则CD=2，PA=AD=AB=1，
取AD的中点O，连接PO，过O作AB的平行线，
可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则$D（{-\frac{1}{2}，0，0}），B（{\frac{1}{2}，1，0}），C（{-\frac{1}{2}，2，0}），P（{0，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，
∴$M（{-\frac{1}{4}，1，\frac{{\sqrt{3}}}{4}}）$，
所以$\overrightarrow{DB}=（{1，1，0}），\overrightarrow{PB}=（{\frac{1}{2}，1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}），\overrightarrow{BM}=（{-\frac{3}{4}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{4}}）$，
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面PBD的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{\frac{1}{2}x+y-\frac{{\sqrt{3}}}{2}z=0}\end{array}}\right.$，
取x=3，则$\overrightarrow{n}$=$（3，3，-\sqrt{3}）$为平面PBD的一个法向量，
∵$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BM}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BM}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{21}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
则直线BM与平面PDB所成角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角、等边三角形的判定与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．