Question

17．已知函数$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}）$的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数g（x）的图象．
（I）求函数g（x）的解析式及单调递增区间；
（II）在△x ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a-c）cosB-bcosC=0且$f（{\frac{A}{2}}）=\frac{2}{3}$，求cos（A-B）的值．

Answer 1

分析 （I）根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；通过三角函数的平移规律求出函数g（x）的解析式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间．
（II）根据（2a-c）cosB-bcosC=0，求出B角的大小，由$f（{\frac{A}{2}}）=\frac{2}{3}$，求出A的关系式，转化思想求cos（A-B）的值．

解答 解：（I）由图可知A=1，图象过（0，$\frac{1}{2}$）和（$\frac{π}{6}$，1）
则有f（0）=sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵0＜φ$＜\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$
∵f（$\frac{π}{6}$）=1，
令$\frac{ωπ}{6}+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
可得ω=2，
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）
那么g（x）=sin[2（x$-\frac{π}{6}$）x+$\frac{π}{6}$]=sin（2x$-\frac{π}{6}$）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x$-\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$，
函数g（x）的单调递增区间为[$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（II）∵（2a-c）cosB-bcosC=0，即（2a-c）cosB=bcosC
由正弦定理，可得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sin（B+C）sinA．
∵sinA≠0
∴2cosB=1，即cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
由$f（{\frac{A}{2}}）=\frac{2}{3}$，
可得：sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，
那么求cos（A-B）=cos（A-$\frac{π}{3}$）=sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．