Question

6．若x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤4}\\{y-2x+2≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，当n=x+2y取最大值时，${（{x-\frac{2}{{\sqrt{x}}}}）^n}$的常数项为（　　）

• A． 240
• B． -240
• C． 60
• D． 16

Answer 1

分析 画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤4}\\{y-2x+2≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域，求出最优解A（2，2），
计算目标函数n=x+2y的最大值，再利用二项展开式的通项公式求出常数项．

解答 解：画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤4}\\{y-2x+2≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域如图（阴影部分）；
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{y-2x+2=0}\end{array}\right.$解得A（2，2），
由可行域知，目标函数n=x+2y在点A（2，2）处取得最大值，
此时n=2+2×2=6，
由${（{x-\frac{2}{{\sqrt{x}}}}）^6}$的二项展开式的通项公式为
${T_{r+1}}={（{-1}）^r}C_6^r{2^r}{x^{6-\frac{3}{2}r}}$，
令6-$\frac{3}{2}$r=0，解得r=4；
当r=4时，其常数项为（-1）⁴•${C}_{6}^{4}$•2⁴=240．
故选：A．

点评 本题考查了线性规划的应用问题，也考查了二项式定理的应用问题，是综合题．