Question

3．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，△PAB与△ABC是等腰三角形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AD=2$\sqrt{2}$，AC⊥BA，点E是线段AB上靠近点B的一个三等分点，点F、G分别在线段PD，PC上．
（Ⅰ）证明：CD⊥AG；
（Ⅱ）若三棱锥E-BCF的体积为$\frac{1}{6}$，求$\frac{FD}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB∥CD，AC⊥BA，可得AC⊥CD．由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD，可得CD⊥平面PAC，即可证明CD⊥AG．
（II）设点F到平面ABCD的距离为d，利用三棱锥的体积计算公式可得：V_E-BCF=V_F-BEC，可得d，进而得出答案．

解答 （Ⅰ）证明：依题意，因为AB∥CD，AC⊥BA，所以AC⊥CD．
又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为AC∩PA=A，所以CD⊥平面PAC，
因为AG?平面PAC，所以CD⊥AG．
（Ⅱ）解：设点F到平面ABCD的距离为d，
则${S_{△BEC}}=\frac{1}{2}•BE•BC•sin∠EBC=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×2\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{2}{3}$，
由${V_{E-BCF}}={V_{F-BEC}}=\frac{1}{3}{S_{△BEC}}d=\frac{1}{6}$，得$d=\frac{3}{4}$，
故$\frac{FD}{PD}=\frac{d}{PA}=\frac{3}{8}$．

点评 本题考查了线面、面面垂直的判定与性质定理、直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．