Question

2．如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角，若A+C=180°，AB=6，BC=4，CD=5，AD=5，则四边形ABCD面积是10$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 连结BD，根据余弦定理列出方程解出cosA（或cosC），进而给出sinA，sinC，代入面积公式即可

解答 解：连结BD，
在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=61-60cosA，
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC=41-40cosC．
∴61-60cosA=41-40cosC，
∵A+C=180°，
∴cosA=-cosC．
∴cosA=$\frac{1}{5}$．
∴sinA=sinC=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
∴四边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$AB×AD×sinA+$\frac{1}{2}$BC×CD×sinC
=$\frac{1}{2}×$6×5×$\frac{2\sqrt{6}}{5}$+$\frac{1}{2}$×4×5×$\frac{2\sqrt{6}}{5}$=10$\sqrt{6}$
故答案为：10$\sqrt{6}$

点评 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．