Question

10．已知f（x）=sin$\frac{π}{3}$（x+1）-$\sqrt{3}$cos$\frac{π}{3}$（x+1），则f（1）+f（2）+…+f（2016）+f（2017）=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用两角差的正弦公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的周期为6，求得f（1）+f（2）+…+f（6）的值，可得要求式子的值．

解答 解：∵f（x）=sin$\frac{π}{3}$（x+1）-$\sqrt{3}$cos$\frac{π}{3}$（x+1）=2sin[$\frac{π}{3}$（x+1）-$\frac{π}{3}$]=2sin$\frac{π}{3}$x 的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{π}{3}}$=6，
则f（1）+f（2）+…+f（6）=$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$+0-$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$+0=0，
故f（1）+f（2）+…+f（2016）+f（2017）=336•（f（1）+f（2）+…+f（6））+f（2017）=0+f（1）=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查两角差的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．