Question

15．已知函数f （x）满足：f （ p+q）=f （ p） f （q），f （1）=3，则$\frac{{{{[f（1）]}^2}+f（2）}}{f（1）}$+$\frac{{{{[f（2）]}^2}+f（4）}}{f（3）}$+$\frac{{{{[f（3）]}^2}+f（6）}}{f（5）}$+$\frac{{{{[f（4）]}^2}+f（8）}}{f（7）}$+$\frac{{{{[f（5）]}^2}+f（10）}}{f（9）}$的值为30．

Answer 1

分析 由函数f （x）满足：f （ p+q）=f （ p） f （q），利用赋值法得到$\frac{f（n+1）}{f（n）}$=3和f（2n）=f²（n），后化简所求式子即得．

解答 解：∵f （ p+q）=f （ p） f （q），f （1）=3，
∴f（n+1）=f（n）f（1）=3f（n），f（2n）=f（n+n）=f（n）f（n）=f²（n），
∴$\frac{f（n+1）}{f（n）}$=3，f（2n）=f²（n），
∴$\frac{{{{[f（1）]}^2}+f（2）}}{f（1）}$+$\frac{{{{[f（2）]}^2}+f（4）}}{f（3）}$+$\frac{{{{[f（3）]}^2}+f（6）}}{f（5）}$+$\frac{{{{[f（4）]}^2}+f（8）}}{f（7）}$+$\frac{{{{[f（5）]}^2}+f（10）}}{f（9）}$
=$\frac{2[f（1）]^{2}}{f（1）}$+$\frac{2f（4）}{f（3）}$+$\frac{2f（6）}{f（5）}$+$\frac{2f（8）}{f（7）}$+$\frac{2f（10）}{f（9）}$
=2f（1）+$\frac{2f（1）f（3）}{f（3）}$+$\frac{2f（1）f（5）}{f（5）}$+$\frac{2f（1）f（7）}{f（7）}$+$\frac{2f（1）f（9）}{f（9）}$
=10f（1）=30．
故答案为：30．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抽象函数性质的合理运用．