Question

4．函数$f（x）={e^x}+\frac{1}{x}$（x＞0），若x₀满足f'（x₀）=0，设m∈（0，x₀），n∈（x₀，+∞），则（　　）

• A． f'（m）＜0，f'（n）＜0
• B． f'（m）＞0，f'（n）＞0
• C． f'（m）＜0，f'（n）＞0
• D． f'（m）＞0，f'（n）＜0

Answer 1

分析 根据题意，对f（x）求导可得f′（x），若f'（x₀）=0，则有${e}^{{x}_{0}}（{x}_{0}）^{2}$=1，将m、n的值 代入计算可得答案．

解答 解：根据题意，函数$f（x）={e^x}+\frac{1}{x}$（x＞0），
其导数f′（x）=e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}•{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
若f'（x₀）=0，则有${e}^{{x}_{0}}（{x}_{0}）^{2}$=1，
当m∈（0，x₀），即m＜x₀，f'（m）=$\frac{{e}^{m}•{m}^{2}-1}{{m}^{2}}$＜0，
n∈（x₀，+∞），即n＞x₀，f'（n）=$\frac{{e}^{m}•{m}^{2}-1}{{m}^{2}}$＞0，
故选：C．

点评 本题考查函数导数与函数单调性的关系，关键是计算函数f（x）的导数．