Question

14．如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是正方形，A₁C=BC，B₁C₁∥BC，且${B_1}{C_1}=\frac{1}{2}BC$．
（I）求证：A₁B⊥B₁C；
（II）求证：AB₁∥平面A₁C₁C．

Answer 1

分析 （I）欲证明A₁B⊥B₁C，只需推知A₁B⊥平面AB₁C；
（Ⅱ）取BC的中点E，证明四边形CEB₁C₁为平行四边形，可得B₁E∥C₁C，从而可得B₁E∥面A₁C₁C，再证明AE∥面A₁C₁C，利用面面平行的判定，可得面B₁AE∥面A₁C₁C，从而可得AB₁∥面A₁C₁C．

解答 解：（I）证明：设A₁B与AB₁交于点O，连接CO．
四边形ABB₁A₁是正方形，
∴A₁B⊥AB₁，A₁O=BO，
∴在△A₁BC中，A₁C=BC，∴A₁B⊥CO．
又因为A₁B∩CO=O，∴A₁B⊥面AB₁C，
又B₁C?面AB₁C，A₁B⊥B₁C；
（Ⅱ）取BC中点D，连接AD，C₁D，BB₁D．
∵$\left\{\begin{array}{l}{{B}_{1}{C}_{1}∥BC，{B}_{1}C{1}_{1}=\frac{1}{2}BC}\\{{B}_{1}{C}_{1}∥DC，{B}_{1}{C}_{1}∥BD}\end{array}\right.$∴四边形B₁C₁CD是平行四边形．
∴B₁D∥CC₁，B₁B∥C₁D，又B₁B∥A₁A，B₁B=A₁A，∴A₁A∥C₁D，A₁A=C₁D，
∴四边形A₁ADC₁是平行四边形．∴AD∥A₁C₁．
又B₁D?面A₁C₁C，AD?面A₁C₁C，∴B₁D∥面A₁C₁C，AD∥面A₁C₁C，
又B₁D∩AD=D，∴平面．AB₁D∥面A₁C₁C，
∵AB₁?面AB₁D，∴AB₁∥平面A₁C₁C．

点评 本题考查面面垂直，考查线面平行，解题的关键是掌握面面垂直的判定方法，正确运用面面平行判断线面平行，属于中档题．