Question

3．已知函数f（x）=2x³-9x²+12x+8a．
（1）求f（x）的极大值和极小值；
（2）若对任意的x∈[0，4]，f（x）＜4a²恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求出单调区间，求得极值；
（2）对任意的x∈[0，4]，f（x）＜4a²恒成立，即为对任意的x∈[0，4]，f（x）_max＜4a²．求得f（x）在[0，4]上的最大值，即可得到a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=2x³-9x²+12x+8a，
故f′（x）=6x²-18x+12，
当x＞2或x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x=1处取得极大值，且为5+8a，
在x=2处取得极小值，且为4+8a；
（2）任意的x∈[0，4]，f（x）＜4a²恒成立，
即为任意的x∈[0，4]，f（x）_max＜4a²．
由f（x）在[0，1]，[2，4]递增，在[1，2]递减，
f（0）=8a，f（1）=5+8a，f（2）=4+8a，f（4）=32+8a，
即有4a²＞32+8a，
解得a＞4或a＜-2．
则a的取值范围是（-∞，-2）∪（4，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查求极值、最值的方法，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．