Question

6．已知函数f（x）=ln（ax+b）+e^x-1（a≠0）．
（Ⅰ）当a=-1，b=1时，判断函数f（x）的零点个数；
（Ⅱ）若f（x）≤e^x-1+x+1，求ab的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-1，b=1时，化简函数的解析式，求出定义域，通过当x≤0时，f（x）＞0，说明函数f（x）在（-∞，0]内无零点；当0＜x＜1时，通过函数的导数，利用函数的单调性零点判定定理，推出结果．
（Ⅱ）不等式化为ln（ax+b）+e^x-1≤e^x-1+x+1，即ln（ax+b）≤x+1，设g（x）=ln（ax+b）-x-1，说明a＞0，清楚函数的$g'（x）=\frac{a}{ax+b}-1=\frac{-ax+a-b}{ax+b}$（ax+b＞0），当$-\frac{b}{a}＜x＜1-\frac{b}{a}$时，判断函数的单调性，当$x＞1-\frac{b}{a}$时，判断函数的单调性求出函数的最值，推出ab≤2a²-a²lna，令h（a）=2a²-a²lna，h'（a）=3a-2alna，求解函数的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1，b=1时，f（x）=ln（-x+1）+e^x-1，定义域为{x|x＜1}，
当x≤0时，f（x）=ln（-x+1）+e^x-1＞0，所以函数f（x）在（-∞，0]内无零点；
当0＜x＜1时，$f'（x）=\frac{1}{x-1}+{e^{x-1}}$，因为$\frac{1}{x-1}＜-1$，e^x-1＜1，所以$f'（x）=\frac{1}{x-1}+{e^{x-1}}＜0$，
说明函数f（x）在（0，1）上单调递减，
又f（0）=e^-1＞0，当$x=1-\frac{1}{e}$时，$f（x）={e^{-\frac{1}{e}}}-1＜{e^0}-1=0$，
所以函数f（x）在（0，1）内有且只有一个零点；
综上，函数f（x）的零点个数是1；…5分
（Ⅱ）若ln（ax+b）+e^x-1≤e^x-1+x+1，即ln（ax+b）≤x+1，设g（x）=ln（ax+b）-x-1，
若a＜0，则当x→-∞时，显然g（x）＞0，故不符合题意，所以a＞0．…7分
$g'（x）=\frac{a}{ax+b}-1=\frac{-ax+a-b}{ax+b}$（ax+b＞0），
当$-\frac{b}{a}＜x＜1-\frac{b}{a}$时，g'（x）＞0，所以g（x）在$（-\frac{b}{a}，1-\frac{b}{a}）$上单调递增；
当$x＞1-\frac{b}{a}$时，g'（x）＜0，所以g（x）在$（1-\frac{b}{a}，+∞）$上单调递减；
从而$g{（x）_{max}}=g（1-\frac{b}{a}）=lna+\frac{b}{a}-2$，
由题意可知$g{（x）_{max}}=g（1-\frac{b}{a}）=lna+\frac{b}{a}-2≤0$，所以b≤2a-alna，…9分
此时ab≤2a²-a²lna，令h（a）=2a²-a²lna，h'（a）=3a-2alna，
可知h（a）在$（0，{e^{\frac{3}{2}}}）$上单调增，在$（{e^{\frac{3}{2}}}，+∞）$上单调减，
所以$h{（a）_{max}}=\frac{1}{2}{e^3}$，故ab的最大值为$\frac{1}{2}{e^3}$．…12分．

点评 本题考查函数与导数的综合应用．函数的单调性与函数的导数的关系，考查分析问题解决问题的能力，是较难题．