Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1²+a_n²=2（a_n+1a_n+a_n+1-a_n-$\frac{1}{2}$）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$＜$\frac{7}{4}$；
（3）记S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，证明：对于一切n≥2，都有S_n²＞2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$）．

Answer 1

分析 （1）运用因式分解，可得（a_n+1-a_n-1）²=0，再由等差数列的通项公式，即可得到所求；
（2）由$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，n≥2．对原不等式左边从第三项开始放大，再由不等式的性质，即可得证；
（3）运用数学归纳法证明，首先验证n=2成立，假设n=k≥2，都有S_k²＞2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{k}}{k}$）．再证n=k+1，注意运用假设和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）a₁=1，且a_n+1²+a_n²=2（a_n+1a_n+a_n+1-a_n-$\frac{1}{2}$），
可得a_n+1²+a_n²-2a_n+1a_n-2a_n+1+2a_n+1=0，
即有（a_n+1-a_n）²-2（a_n+1-a_n）+1=0，
即为（a_n+1-a_n-1）²=0，
可得a_n+1-a_n=1，
则a_n=a₁+n-1=n，n∈N*；
（2）证明：由$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，n≥2．
则$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$
＜1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{7}{4}$，
故原不等式成立；
（3）证明：S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$，
当n=2时，S₂²=（1+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{9}{4}$＞2•$\frac{{S}_{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$成立；
假设n=k≥2，都有S_k²＞2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{k}}{k}$）．
则n=k+1时，S_k+1²=（S_k+$\frac{1}{k+1}$）²，
S_k+1²-2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{k}}{k}$+$\frac{{S}_{k+1}}{k+1}$）
=（S_k+$\frac{1}{k+1}$）²-2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{k}}{k}$）-2•$\frac{{S}_{k+1}}{k+1}$
=S_k²-2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{k}}{k}$）+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$+2•$\frac{{S}_{k}}{k+1}$-2•$\frac{{S}_{k+1}}{k+1}$
=S_k²-2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{k}}{k}$）+$\frac{k-1}{（k+1）^{2}}$，
由k＞1可得$\frac{k-1}{（k+1）^{2}}$＞0，
且S_k²＞2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{k}}{k}$）．
可得S_k²-2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{k}}{k}$）＞0，
则S_k+1²＞2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{k}}{k}$+$\frac{{S}_{k+1}}{k+1}$）恒成立．
综上可得，对于一切n≥2，都有S_n²＞2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用因式分解和等差数列的定义和通项公式，考查数列不等式的证明，注意运用放缩法和数学归纳法，考查推理和运算能力，属于难题．