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    3．某校对学生的思想品德、学业成绩、社会实践能力进行综合评价，思想品德、学业成绩、社会实践能力评价指数分别记为x，y，z，每项评价指数都为1分、2分、3分、4分、5分五等，综合评价指标S=x+y+z，若S≥13，则该学生为优秀学生．现从该校学生中，随机抽取10名学生作为样本，分为A，B两组，其评价指数列表如下：
                                                                    A组
    学生编号A1A2A3A4A5
    评价指数（x，y，z）（3，4，3）（4，3，4）（4，4，2）（4，3，5）（4，5，4）
    B组
    学生编号 B1B2B3B4B5
    评价指数（x，y，z）（3，5，3）（4，3，2）（5，4，4）（5，4，5）（4，5，3）
    （1）从A，B两组中各选一名学生，依次记为甲、乙，求乙的综合评价指标大于甲的综合评价指标的概率；
    （2）若该校共有1500名学生，估计该校有多少名优秀学生．

    分析 （1）列举法计算概率；
    （2）用所选学生的优秀率近似代替该校的学生优秀率进行估计．

    解答 解：（1）A组的5名学生综合评价指标分别为10，11，10，12，13，
    B组的5名学生综合评价指标分别为11，9，13，14，12，
    从A，B两组中各选一名学生共有5×5=25种选法，
    其中乙的综合评价指标大于甲的综合评价指标共有2+4+5+3=14种选法，
    ∴乙的综合评价指标大于甲的综合评价指标的概率为P=$\frac{14}{25}$．
    （2）两组的10名学生中优秀学生共有3人，
    ∴该校共有优秀学生大约1500×$\frac{3}{10}$=450人．

    点评 本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．

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    13．“a＞0”是“$a+\frac{2}{a}≥2\sqrt{2}$”的（　　）
    A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
    C．充要条件D．既不充分也不必要条件

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    14．已知实数a，b满足0＜a＜1，-1＜b＜1，则函数$y=\frac{1}{3}a{x^3}+a{x^2}+b$有三个零点的概率为$\frac{5}{16}$．

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    11．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，M为C上除长轴顶点外的一动点，以M为圆心，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$为半径作圆，过原点O作圆M的两条切线，A、B为切点，当M为短轴顶点时∠AOB=$\frac{π}{2}$．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）设椭圆的右焦点为F，过点F作MF的垂线交直线x=$\sqrt{2}$a于N点，判断直线MN与椭圆的位置关系．

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    18．某学校门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以2秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过1秒的概率是（　　）
    A．$\frac{1}{4}$B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{3}{4}$D．$\frac{7}{8}$

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    8．下面四个命题中，真命题是（　　）
    ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每30分钟从生产流水线中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是系统抽样；
    ②两个变量的线性相关程度越强，则相关系数的值越接近于1；
    ③两个分类变量X与Y的观测值κ2，若κ2越小，则说明“X与Y有关系”的把握程度越大；
    ④随机变量X～N（0，1），则P（|X|＜1）=2P（X＜1）-1．
    A．①④B．②④C．①③D．②③

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    15．已知f（x）=ex与g（x）=ax+b的图象交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点．
    （Ⅰ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
    （Ⅱ）且PQ的中点为M（x0，y0），求证：f（x0）＜a＜y0．

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    12．在（1+x3）（1-x）8的展开式中，x5的系数是（　　）
    A．-28B．-84C．28D．84

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    20．已知数列{an}满足a1=1，且an+12+an2=2（an+1an+an+1-an-$\frac{1}{2}$）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）求证：$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$＜$\frac{7}{4}$；
    （3）记Sn=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，证明：对于一切n≥2，都有Sn2＞2（$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$）．

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