Question

10．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PB=PD=2，$PA=\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）若E是PA的中点，求二面角A-EC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （I）由BD⊥AC，BD⊥PO即可得出BD⊥平面PAC，故而BD⊥PC；
（II）证明OP⊥平面ABCD，建立空间坐标系，求出两平面的法向量的夹角，从而得出二面角的大小．

解答 （I）证明：设AC，BD交点为O，连接PO，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，O是AC、BD的中点，
∵PB=PD，∴PO⊥BD，
又PO?平面POC，AC?平面POC，PO∩AC=O，
∴BD⊥平面POC，∵PC?平面POC，
∴BD⊥PC．
（II）解：∠BAD=60°，AB=AD=2，
∴△ABD是等边三角形，
又AB=PB=PD，
∴△PBD是等边三角形，
∴OA=OP=$\sqrt{3}$，
∴OA²+OP²=PA²，∴OA⊥OP，
又OP⊥OB，OA∩OB=O，
∴OP⊥平面ABCD．
以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：
则A（0，-$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
∵E是PA的中点，∴E（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{CE}$=（0，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
设平面BCE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，3），
又BD⊥平面POC，
∴$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）是平面ACE的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{1•\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{39}}{13}$，
∵二面角A-EC-B为锐二面角，
∴二面角A-EC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．