Question

20．已知命题p：函数f（x）=|cos²x-sinxcosx-$\frac{1}{2}$|的最小正周期为π；命题q：函数f（x）=ln$\frac{3+x}{3-x}$的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（　　）

• A． p∧q
• B． p∨q
• C． （￢p）∧（￢q）
• D． p∨（￢q）

Answer 1

分析 命题p：函数f（x）=$|\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x|$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$|sin（2x-\frac{π}{4}）|$的最小正周期为$\frac{π}{2}$；命题q：函数f（x）=ln$\frac{3+x}{3-x}$，由$\frac{3+x}{3-x}$＞0，可得定义域为：（-3，3）．又f（-x）=-f（x），因此函数f（x）是奇函数，其图象关于原点中心对称，利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．

解答 解：命题p：函数f（x）=|cos²x-sinxcosx-$\frac{1}{2}$|=$|\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x|$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$|sin（2x-\frac{π}{4}）|$的最小正周期为$\frac{π}{2}$，因此是假命题；
命题q：函数f（x）=ln$\frac{3+x}{3-x}$，由$\frac{3+x}{3-x}$＞0，化为（x+3）（x-3）＜0，解得-3＜x＜3，
可得定义域为：（-3，3）．又f（-x）=$ln\frac{3-x}{3+x}$=-ln$\frac{3+x}{3-x}$=-f（x），因此函数f（x）是奇函数，其图象关于原点中心对称，是真命题．
则下列命题是真命题的是p∨q．
故选：B．

点评 本题考查了函数的奇偶性、三角函数的周期性、倍角公式与和差公式、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．