Question

18．已知函数$f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{{lnx-a{x^2}}}（a∈$R）．
（1）当a=0时，求函数 f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈（1，e），不等式f（x）＞1恒成立，求 a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，$f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{lnx}（x＞0$且$x≠1），f'（x）=\frac{{2xlnx-x+\frac{1}{x}}}{{{{ln}^2}x}}$，令$g（x）=2xlnx-x+\frac{1}{x}，g'（x）=2lnx+\frac{{{x^2}-1}}{x^2}$，利用导数性质能求出函数 f（x）的单调区间．
（2）问题等价于$\left\{\begin{array}{l}lnx-a{x^2}＞0\\{x^2}-1＞lnx-a{x^2}\end{array}\right.$对于任意 x∈（1，e）恒成立，$lnx-a{x^2}＞0?a＜\frac{lnx}{x^2}$，由此能求出a的取值范围．

解答 解：（1）当a=0时，$f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{lnx}（x＞0$且$x≠1），f'（x）=\frac{{2xlnx-x+\frac{1}{x}}}{{{{ln}^2}x}}$，
令$g（x）=2xlnx-x+\frac{1}{x}，g'（x）=2lnx+\frac{{{x^2}-1}}{x^2}$，
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，
∴函数g（x）在 （0，1）上单调递减，在 （1，+∞）上单调递增，
∴当x＞0且x≠1时，g（x）＞g（1）=0，f'（x）＞0，
∴函数f（x）在 （0，1）上单调递增，在 （1，+∞）上单调递增．
（2）∵x∈（1，e），∴x²-1＞0，
∴问题等价于$\left\{\begin{array}{l}lnx-a{x^2}＞0\\{x^2}-1＞lnx-a{x^2}\end{array}\right.$对于任意 x∈（1，e）恒成立，
$lnx-a{x^2}＞0?a＜\frac{lnx}{x^2}$，
令$h（x）=\frac{lnx}{x^2}，h'（x）=\frac{1-2lnx}{x^3}，h'（x）＞0?1＜x＜\sqrt{e}；h'（x）＜0?\sqrt{e}＜x＜e$，
∴h（x）在$（{1，\sqrt{e}}）$上单调递增，在 $（{\sqrt{e}，e}）$上单调递减，
∴$h（x）∈（{0，\frac{1}{2e}}]$，∴a≤0，${x^2}-1＞lnx-a{x^2}?a＞\frac{{lnx-{x^2}+1}}{x^2}$，
令$φ（x）=\frac{{lnx-{x^2}+1}}{x^2}，φ'（x）=\frac{-1-2lnx}{x^3}＜0$，
∴φ（x）在$（{1，\sqrt{e}}）$上单递减，∴$φ（x）∈（{\frac{2}{e^2}-1，0}）$，
∴a≥0，综上所述，a的取值范围为{0}．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．