【题目】已知方程
.
（1）设
，方程有三个不同实根，求
的取值范围；
（2）求证：
是方程有三个不同实根的必要不充分条件.
【答案】(1) 
;(2)见解析.
【解析】
试题(1)三次函数有三个零点，等价于零在极大值与极小值之间，因此本题实质先求函数极值，再解不等式， (2)证明不充分，只需举一个反例即可；证明必要性，可说明
时方程没有三个不同实根.
试题解析：设
.
（1）当
时，方程
有三个不同实根，
等价于函数
有三个不同零点，
，令
得
或
，
与
的区间
上情况如下：
所以，当
时且
时，存在
，
，
，
使得
.
由的单调性知，当且仅当
时，函数
有三个不同零点.
即方程有三个不同实根.
（2）当
时，
，
，
此时函数在区间上单调递增，
所以不可能有三个不同零点.
当
时，
只有一个零点，记作
，
当
时，
，在区间
上单调递增；
当
时，，在区间
上单调递增.
所以不可能有三个不同零点.
综上所述，若函数有三个不同零点，则必有
.
故
是有三个不同零点的必要条件.
当，
时，，
只有两个不同零点，
所以不是有三个不同零点的充分条件.
因此是有三个不同零点的必要而不充分条件.
即是方程
有三个不同实根的必要而不充分条件.
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【题目】已知直线l：y=kx+b，(0<b<1)和圆O：
相交于A，B两点.
（1）当k=0时，过点A，B分别作圆O的两条切线，求两条切线的交点坐标；
（2）对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点N，满足
？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由.
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【题目】某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人。为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，再将两组的分数分成5组： 
分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。
（I）从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰为一男一女的概率；
（II）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”?
附表：
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【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，以坐标原点
为极点， 
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为： 
，直线
的参数方程是
（
为参数， 
）．
（1）求曲线
的直角坐标方程；
（2）设直线
与曲线
交于两点
，且线段
的中点为
，求
．
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【题目】如图，梯形
中，
∥
，
，
，
，将△
沿对角线
折起，设折起后点
的位置为
，使二面角
为直二面角，给出下面四个命题：① 
；②三棱锥
的体积为
；③
平面
；④平面
平面
；其中正确命题的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图，
是边长为3的正方形，
平面，
，
，BE与平面所成角为
．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）设点M在线段BD上，且
平面BEF，求
的长．
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【题目】已知直线l的方程为y＝
x－2，又直线l过椭圆C：
（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值．
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