Question

16．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+4cosθ\\ y=2+4sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）直线l经过定点P（2，1），倾斜角为$\frac{π}{6}$．
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程．
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由圆 $\left\{\begin{array}{l}x=1+4cosθ\\ y=2+4sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系消去参数θ可得圆的普通方程，直线l经过定点P（2，1），倾斜角为$\frac{π}{6}$，即可得出直线l的参数方程．
（2）将直线l的参数方程代入圆的普通方程，整理，得：${t}^{2}+（\sqrt{3}-1）$t-14=0，可得|PA|•|PB|=|t₁•t₂||．

解答 解：（1）由圆   $\left\{\begin{array}{l}x=1+4cosθ\\ y=2+4sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系消去参数θ可得圆的普通方程为：（x-1）²+（y-2）²=16，
直线l经过定点P（2，1），倾斜角为$\frac{π}{6}$，可得：
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（2）将直线l的参数方程代入圆的普通方程，整理，得：${t}^{2}+（\sqrt{3}-1）$t-14=0，
设t₁，t₂是方程的两根，∴t₁•t₂=-14．
∴|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁•t₂||=14．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．